2011年高三物理复习——动量守恒定律

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目标认知

学习目标

1.理解动量、动量的变化量的概念，知道动量、动量的变化量都是矢量，会正确计算一维的动量变化。

2.会用牛顿运动定律推导动量守恒定律。

3.理解动量守恒定律的确切含义和表达式，知道定律的适用条件和适用范围，并会用动量守恒定律解决一些简单问题。

学习重点

1.理解动量守恒定律的确切含义和表达式以及简单计算。

2.会用牛顿运动定律推导动量守恒定律。

学习难点

1.动量守恒定律的适用条件和适用范围

2.用动量守恒定律解决问题。

知识要点梳理

知识点一.动量

要点诠释：

1.动量的定义

物体的质量和速度的乘积叫做动量（用符号P表示）。

2. 公式

；单位：

3.方向

动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。

知识点二. 动量的变化

要点诠释：

1.动量的变化

某段运动过程（或时间间隔）物体的末动量跟物体的初动量的（矢量）差，称为动量的变化（或动量的增量），即

2. 动量的变化的方向

动量的变化是矢量，它的方向是由速度的变化方向决定的。

知识点三．系统、内力和外力

要点诠释：

1.系统

相互作用的两个或多个物体组成一个系统。

2.内力

物体之间的相互作用力叫内力。

3.外力

系统以外的物体施加的力叫外力。

知识点四．动量守恒定律

1.推导

以两球碰撞为例：光滑水平面上有两个质量分别是m₁和m₂的小球，分别以速度v₁和v₂（v₁>v₂）做匀速直线运动。当m₁追上m₂时，两小球发生碰撞，设碰后二者的速度分别为v₁ˊ、v₂ˊ。

设水平向右为正方向，它们在发生相互作用（碰撞）前的总动量：p=p₁+p₂=m₁v₁+m₂v₂，在发生相互作用后两球的总动量：pˊ=p₁ˊ+p₂ˊ=m₁v₁ˊ+m₂v₂ˊ。

设碰撞过程中两球相互作用力分别是F₁和F₂，力的作用时间是。

根据牛顿第二定律，碰撞过程中两球的加速度分别为

根据牛顿第三定律，大小相等，方向相反，即

所以

碰撞时两球之间力的作用时间很短，用 表示，这样加速度与碰撞前后速度的关系就是

，代入

整理后可得

或写成

即

这表明两球碰撞前后系统的总动量是相等的。

2.内容

如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。

3.表达式

或者 亦或

4.适用条件

①系统不受外力或者所受合外力为零；

②系统所受合外力虽然不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象中，系统的动量可看成近似守恒；

③系统总的来看不符合以上条件的任意一条，则系统的总动量不守恒。但是若系统在某一方向上符合以上条件的任意一条，则系统在该方向上动量守恒。

5.适用范围

它是自然界最普遍、最基本的规律之一。不仅适用于宏观物体的低速运动，也适用与微观物体的高速运动。小到微观粒子，大到宇宙天体，无论内力是什么性质的力，只要满足守恒条件，动量守恒定律总是适用的。

6.动量守恒定律的特点

①矢量性

动量是矢量。动量守恒定律的方程是一个矢量方程。通常规定正方向后，能确定方向的物理量一律将方向表示为“+”或“-”，物理量中只代入大小：不能确定方向的物理量就用字母表示，计算结果为“+”，说明其方向与规定的正方向相同，计算结果为“-”，说明其方向与规定的正方向相反。

②瞬时性

动量是一个瞬时量，动量守恒定律指的是系统任一瞬间的动量和恒定。因此，列出的动量守恒定律表达式m₁v₁+m₂v₂+…=m₁v₁ˊ+m₂v₂ˊ+…，其中v₁，v₂…都是作用前同一时刻的瞬时速度，v₁ˊ，v₂ˊ都是作用后同一时刻的瞬时速度。只要系统满足动量守恒定律的条件，在相互作用过程的任何一个瞬间，系统的总动量都守恒。在具体问题中，可根据任何两个瞬间系统内各物体的动量，列出动量守恒表达式。

③相对性

物体的动量与参考系的选择有关。通常，取地面为参考系，因此，作用前后的速度都必须相对于地面。

规律方法指导

1.动量、动量变化的区别及联系

	动量	动量的变化
定义	物体质量和速度的乘积	末动量和初动量之差
物理意义	描述机械运动的状态	表征动量发生的变化
性质	状态量，矢量	过程量，矢量
表达式
单位及符号	千克·米／秒（ ）	千克·米／秒（ ）

2.动量变化的大小和方向的讨论

动量的变化 是矢量，因动量的变化（动量的增量）是物体的末动量 跟物体的初动量 的（矢量）差，即 。它的方向是由 和 共同决定的，它的运算符合矢量运算规则，要按平行四边形定则进行。特别是当 与 在一条直线上时，在选定正方向后，动量的方向可用正负号表示，将矢量运算化为代数运算，计算结果为“+”，说明其方向与规定的正方向相同，计算结果为“-”，说明其方向与规定的正方向相反。

3.动量守恒定律的一般解题步骤

①确定研究对象(系统)，进行受力分析：

②确定研究过程，进行运动分析；

③判断系统在所研究的过程中是否满足动量守恒定律成立的条件；

④规定某个方向为正方向，分析初末状态系统的动量；

⑤根据动量守恒定律建立方程，并求出结果。

经典例题透析

类型一—关于动量的理解

1.关于动量的概念下列说法正确的是（）

A.动量大的物体惯性一定大

B.动量大的物体运动一定快

C.动量相同的物体运动方向一定相同

D.动量相同的物体速度小的惯性一定大

思路点拨: 理解动量的定义是解此题的关键

解析：物体的动量是由速度和质量两个因素决定的。动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，A错；同样，动量大的物体速度也不一定大，B错；动量相同指动量的大小和方向均相同，而动量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C对；动量相同的物体，速度小的质量大，惯性也大，D对。

答案：CD

总结升华：物体的动量是由速度和质量两个因素决定的；质量是惯性大小的量度

迁移应用

【变式】下列关于动量的说法中正确的是()

A.动量大的物体受到的力一定大

B.动量大的物体一定运动的快

C.动量大的物体的惯性一定大

D.动量大的物体的质量与速度的乘积一定大

解析：由动量的定义式p=mv可知，物体的动量是由物体的质量和速度共同决定的，动量大小与物体是否受力无关，所以A错误的，动量大的物体其速度不一定大即动量大，物体运动的不一定快，所以B错，质量是物体惯性大小的量度，动量大的物体其质量不一定大，即动量大的物体，惯性不一定大，故C错，D是正确的。

答案：D

类型二—关于动量变化的计算

2.一个质量是0.1kg的钢球，以的速度水平向右运动，碰到一个坚硬的障碍物后被弹回，沿着同一直线以 的速度水平向左运动。求碰撞前后钢球的动量有没有变化？变化了多少？

思路点拨:此题为动量变化题目，要分清初末动量。

解析：题中钢球的速度发生了反向，说明速度发生了变化，因此动量必发生变化。

取向左的方向规定为正方向

物体原来的动量：

弹回后物体的动量：

动量的变化：

动量变化量为正值，表示动量变化量的方向向左，大小为1.2kg·m/s。

答案：有变化；变化量方向向左，大小为1.2kg·m/s。

总结升华：动量及动量变化都是矢量，在进行动量变化的计算时应首先规定正方向，这样各矢量中方向与正方向一致的取正值，方向与正方向相反的取负值。从而把矢量运算变成代数加减。

迁移应用

【变式】一个质量为2kg的小球，竖直落地时的速度为10m/s，反向弹地时的速度为8m/s.求小球与地面作用期间发生的动量变化。

解析：取向上为正方向，则竖直落地时的速度，反向弹地的速度。

方向：竖直向上。

答案：；方向竖直向上。

类型三—动量守恒守恒条件的判断

3.位于光滑水平面的小车上放置一螺旋线管，一条形磁铁沿着螺线管的轴线水平地穿过，如图所示。在此过程中（）

A.磁铁做匀速运动

B.磁铁和螺线管系统的动量和动能都守恒

C.磁铁和螺线管系统的动量守恒，动能不守恒

D.磁铁和螺线管系统的动量和动能都不守恒

思路点拨：此题考察动量守恒的条件，因此正确理解动量守恒的条件是解决问题的关键。

解析：因磁铁和螺线管组成的系统所受外力之和为零，故动量守恒，但磁铁进入和穿出螺线管的过程中，螺线管都要产生感应电流阻碍磁铁的相对运动，两者相互作用力是变力，且都做功，所以动能不守恒，故选C。

答案：C

总结升华：当系统所受外力之和为零时，动量守恒

类型四—动量守恒定律的简单应用

4.质量的小球在光滑的水平桌面上以的速率向右运动，恰好遇上质量为的小球以的速率向左运动，碰撞后，小球恰好停止，那么碰撞后小球的速率是多大？方向如何？

思路点拨：两球相碰，内力远远大于外力，符合动量守恒条件，故可用动量守恒定律来解决。

解析：设的方向即向右为正方向，则有

根据动量守恒：，

有：

解得：

方向与正方向相反，即向左。

答案： 方向与正方向相反，即向左。

总结升华：运用动量守恒定律解题的方法是：（1）看清是否符合动量守恒条件，（2）恰当选取正方向，（3)根据题意选取恰当的动量守恒定律的表达式，（4）合理进行运算，得出最后结果。

迁移应用

【变式】质量为20g的小球A以的速度向东运动，某时刻和在同一直线上运动小球B迎面正碰。B球的质量为50g。碰撞前的速度为，方向向西，碰撞后，A球以的速度向西返回，求碰后B球的速度。

解析：A、B两球的正碰过程符合动量守恒定律，设向东为正方向，

根据动量守恒定律有：

，负号说明碰后B球的速度方向向西。

答案：0.4m/s，方向向西。

类型五—若系统所受外力之和不为零，但如果某一方向上的外力之和为零，则在该方向上的动量守恒

5.小型迫击炮在总质量为1000kg的船上发射，炮弹的质量为2kg．若炮弹飞离炮口时相对于地面的速度为600m/s，且速度跟水平面成45°角，求发射炮弹后小船后退的速度？

思路点拨：取炮弹和小船组成的系统为研究对象，在发射炮弹的过程中，炮弹和炮身(炮和船视为固定在一起)的作用力为内力．系统受到的外力有炮弹和船的重力、水对船的浮力．在船静止的情况下， 重力和浮力相等，但在发射炮弹时，浮力要大于重力．因此，在垂直方向上，系统所受到的合外力不为零，但在水平方向上系统不受外力(不计水的阻力)，故在该方向上动量守恒．

解析：发射炮弹前，总质量为1000kg的船静止，则总动量Mv=0．

发射炮弹后，炮弹在水平方向的动量为mv₁ˊcos45°，船后退的动量(M-m)v₂ˊ．

答案：

总结升华：若系统所受外力之和不为零，则系统的总动量不守恒，但如果某一方向上的外力之和为零，则该方向上的动量仍然守恒，仍可以应用动量守恒定律。

迁移应用

【变式】一门旧式大炮，炮身的质量为M，射出炮弹的质量为m，对地的速度为，方向与水平方向成角，若不计炮身与水平地面的摩擦，则炮身后退速度的大小为（）

A. B. C. D.

解析：竖直方向动量不守恒，水平方向动量仍守恒，即在水平方向利用动量守恒定律：

答案：B

类型六—动量守恒在多个物体组成的系统中的应用

6.如图所示在光滑的水平面上有静止的两木块A和B，，它们的上表面是粗糙的，今有一铁块C，其质量以初速度沿两木块表面滑过，最后停在B上，此时B、C的共同速度。求：

(1)A的速度？

(2)C刚离开A时的速度？

解析：

(1)选A、B、C组成的系统为研究对象，对整个过程运用动量守恒定律，有

可求得A运动的速度：

（2）C离开A后，A做匀速运动，C刚离开A时A、B 具有共同速度 ，仍选A、B、C组成的系统为研究对象，研究C从A的上表面滑过的过程，根据动量守恒定律，有

可求得C刚离开A时的速度

答案：（1）（2）

总结升华：此题为多个物体组成的系统，由于物体较多相互作用的情况也不尽相同，作用过程较为复杂，虽然仍可对初末状态建立动量守恒的关系式，但因未知条件过多而无法求解，这时往往要根据作用过程中的不同阶段，建立多个动量守恒方程，或将系统内的物体按作用的关系分别建立动量守恒定律方程。

迁移应用

【变式1】质量为的小船以 的速度自西向东行驶，忽略阻力。船上有两个皆为的运动员，若运动员甲首先沿水平方向以（相对于静止水面）的速度向东跃入水中，然后运动员乙沿水平方向以同一速度向西（相对于静止水面）跃入水中。则二人跳出后小船的速度为（）

A.向东 B.等于0 C.向东 D.

解析：系统不受外力，符合动量守恒。

设向东为正方向，由动量守恒：

方向向东。

答案：C

【变式2】一平板小车静止在光滑水平面上，车的右端安有一竖直的板壁，车的左端站有一持枪的人，此人水平持枪向板壁连续射击，子弹全部嵌在板壁内未穿出，过一段时间后停止射击。则（）

A.停止射击后小车的速度为零

B.射击过程中小车未移动

C.停止射击后，小车在射击之前位置的左方

D.停止射击后，小车在射击之前位置的右方

解析：在发射子弹的过程中，小车、人、枪及子弹组成的系统动量守恒，因此，停止射击后小车的速度为零，选项A正确。

每一次射击过程子弹向右运动时，小车都向左运动，因此停止射击后，小车在射击之前位置的左方，选项C正确。

答案：A、C。

类型七—动量守恒与能量守恒的结合

7.在光滑的水平面上有一质量为的木板A，其右端挡板上固定一根轻质弹簧，在靠近木板左端的P处有一大小忽略不计、质量为的滑块B。木板上Q处的左侧粗糙，右侧光滑。且PQ间距离，如图所示。某时刻木板以的速度向左滑行，同时滑块B以速度向右滑行，当滑块B与P相距时，二者刚好处于相对静止状态，若二者共同运动方向的前方有一障碍物，木板A与它碰后以原速率反弹（碰后立即撤去障碍物）。求B与A的粗糙面之间的摩擦因数和滑块B最终停在木板上的位置。（g取）

思路点拨：此题动量与能量结合的题目，既要考虑动量守恒又要考虑能量守恒

解析：设M、m共同速度为 ，，选向右运动方向为正方向，由动量守恒定律得

对A、B组成系统，由能量守恒得

木板A与障碍物发生碰撞后以原速率反弹，假设B向右滑行并与弹簧发生相互作用，当A、B再次处于相对静止状态时，两者的共同速度为，在此过程中，A、B和弹簧组成的系统动量守恒、能量守恒。

由动量守恒得

设B相对A的路程为，由能量守恒得

由于，所以滑过Q点并与弹簧相互作用，然后相对A向左滑动到Q点的左边，设离Q点距离为，则

答案：A、B间的摩擦因数为0.6，滑块B最终停在木板上Q点左侧离Q点0.17m处

总结升华：本题是一道综合性很强的题目，要求同学对物理过程的分析要详细，会挖掘条件。同时对动量守恒定律、能量守恒定律的理解极高，正确使用这些规律解题是学生物理能力的试金石。

迁移应用

【变式1】如图所示，质量分别为m和2m的A、B两个木块间用轻弹簧相连，放在光滑水平面上，A靠紧竖直墙．用水平力F将B向左压，使弹簧被压缩一定长度，静止后弹簧储存的弹性势能为E．这时突然撤去F，关于A、B和弹簧组成的系统，下列说法中正确的是（ ）

A.撤去F后，系统动量守恒，机械能守恒

B.撤去F后，A离开竖直墙前，系统动量不守恒，机械能守恒

C.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E

D.撤去F后，A离开竖直墙后，弹簧的弹性势能最大值为E/3

解析：A离开墙前墙对A有弹力，这个弹力虽然不做功，但对A有冲量，因此系统机械能守恒而动量不守恒；A离开墙后则系统动量守恒、机械能守恒．A刚离开墙时刻，B的动能为E，动量为p=向右；以后动量守恒，因此系统动能不可能为零，当A、B速度相等时，系统总动能最小，这时的弹性势能为E/3．

答案： BD

【变式2】在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度射向B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。

（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。

（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

解析：

（1）设C球与B球粘结成D时，D的速度为 ，由动量守恒，有

①

当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为，由动量守恒，有

②

由①、②两式得A的速度

（2）设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为，由能量守恒，有

撞击P后，A与D的动能都为零，解除锁定后，当弹簧刚恢复到自然长度时，

势能全部转变成D的动能，设D的速度为，则有

当弹簧伸长时，A球离开挡板P，并获得速度。当A、D的速度相等时，弹簧伸至最长。

设此时的速度为，由动量守恒，有

当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为，由能量守恒，有

解以上各式得